Beiträge: 808
Welchen größten Wert kann eine zweistellige Zahl n annehmen, wenn gilt, dass (10^n)+1 ein Vielfaches von 101 ist?
A:89
B:92
C:95
D:98
E:99
Ich komm net drauf :-(
Beiträge: 1.264
Ich tippe auf E.) !!!
Beiträge: 2.211
ich würde auf 2 tippen...
Beiträge: 245
Ich schätze mal D
Beiträge: 808
Ich tippe auf A.
Ne im ernst, einfach rumtippen bringt nix, ich hätte gerne nen Lösungsweg.
Beiträge: 2.240
also ich hatte das mathezeug zwar noch net aber ich versuch mal die zeichen da oben in deinem text richtig zu deuten
also a da ich denke dass 10+1+89 100 is
aber das vielfache stört mich dabei ;)
also irgendwie
Beiträge: 485
Das "vielfache[s] von 101" ist doch eigentlich völlig egal, da jede Zahl ein vielfaches von 101 ist!
man kann 101 ja auch mal 0.74638956394576 nehmen...
10^n +1 = 101 * x
Beiträge: 23
Hmm, schwierig. Ich komm irgendwie nicht ganz drauf, aber ich kann ja zumindest mal einen Ansatz hinschreiben, vielleicht bringt das ja irgendwen weiter.
Da ja, wie in der Aufgabenstellung gesagt, (10^n)+1 ein Vielfaches von 101 sein muss, und man nicht weiss das wieviel-Fache von 101 es ist, lässt sich alles in folgende Gleichung bringen:
(10^n)+1 = 101*x
Was dabei auffällt (aber vielleicht auch garnichts zur Sache tut) :
- Bei x*101 haben die Werte immer 2 Stellen mehr als x und die letzten beiden Ziffern gleichen denen von x. (was also schonmal alles ausser Zahlen mit 01 hinten für x ausschliesst.)
- Das Vielfache von x muss "glatt" sein, d.h. es darf nur 2 Einsen haben, eine am Anfang, die andere am Ende.
Man sucht also weniger nach n als nach x.
Ich hab versucht die Gleichung zu vereinfachen, aber nicht hinbekommen, da ich irgendwie an den 2 verschiedenen Variablen gescheitert bin und der Taschenrechner bei solchen hohen Zahlen gerne mal den Dienst verweigert.
Man bräuchte halt ne Art Substitut für x in der Gleichung.
Ich dachte, man könnte x durch 10^n-2 ersetzen, aber ich glaub das war falsch...
Aber wenn ich mal tippen sollt (basierend auf dem Zeug was ich bis jetzt raus hatte), würd ich sagen 98 ...
@KloXXL:
Ich denke mal, man soll schon bei den natürlichen Zahlen bleiben.
Beiträge: 808
Jo nätürliche Zahlen...
Des interessante an der Sache ist ja, dass des nur ne mittelschwere Aufgabe ist
Beiträge: 827
Ich hab mal ein wenig dran rumprobiert, aber komme zu keinem ordentlichen Ergebnis.
Stimmt das so wie es dasteht? Kein Minus vergessen?
Und was behandelt ihr gerade, rein zufällig vollständige Induktion oder so was?
[edit]
Habs:
code\:
Es ist 10^2+1
------ = 1
101
Dafür ist die Bedingung schon einmal erfüllt.
Zu zeigen:
10^(n+?)+1
---------- ?=k
101
Umformung: (10^n+1-1)*10^?+1
----------------- ?=k
101
Annahme (s.o.): (10^n+1)/101=c
Also:
10^?-1
c*10^?- ------- =k
101
Damit haben wir die Aufgabe auf die Fragestellung, wann
10^x-1
------ eine natürliche Zahl ergibt reduziert.
101
Durch Rumprobieren gefunden: x=4.
x=1 geht nicht, x=2 auch nicht, x=3 ebenfalls nicht (nachrechnen).
Die kleinste Schrittgröße wäre also vier, n ist also ein Element der Reihe
n'=n+4 , mit n_0=2
(Nachrechnen der ersten Glieder mit dem Taschenrechner bestätigt dies.
Das ist natürlich kein Beweis, aber trotzdem gut).
Für die auswählbare Zahl F muß also gelten:
(F-2)/4 = natürliche Zahl.
Die ungeraden fallen gleich raus, 92 nach Taschenrechner auch, 98 ergibt dann 24
=> Antwort D
Trotzdem unschöne Aufgabe, in einer Klausur würde ich so was nicht wollen!
(Ach ja, im [code][/code] funktioniert kein automatischer Zeilenumbruch... Hätte ich mir denken können)
Beiträge: 292
Wenn ich des richtig verstehe, dann ist "n" eine von den Zahlen A-E und "x" kann einen beliebige Zahl sein?
Hab nen Idee
setzte für x ne beliebige Zahl ein und löse nach n auf.
Beiträge: 808
Ne, is kein Schulthema. Des is der Känguru-Wettbewerb für die Jahrgangsstufen 11-13.
Beiträge: 827
Lösung steht jetzt oben (was, Spam? Wißt ihr wie lange ich da dran rumprobiert hab? Na gut, ne dreiviertelstunde)
Äh, Moment, Wettbewerb?
Tststs, das ist aber Wettbewerbsverzerrung
Und einfacherer Lösungsweg? Vielleicht, aber ich kenne ihn nicht. Und ich will nicht noch ne Stunde drüber nachdenken...
Beiträge: 292
@K_Murx
Gibt es nicht ne einfacheren Lösungsweg?
btw Sucher in welcher Klasse bist du?
Beiträge: 808
Ich bin in der elften Klasse....aja Induktion...was auch immer das ist. Naja nach den Ferien setz ich die Aufgabe meinem Mathelehrer vor.
Und des is net wettbewerbsverzehrend, da des ein alter Test ist, und man den Test immer nur in der Schule schreiben kann(30 Aufgaben, und 75 Minuten Zeit).
Hm, wenn ich wollt kann ich ja noch ein paar schöne Aufgaben posten^^
Edit: Ach ich schreib einfach mal noch eine rein, ihr müsst sie ja nicht machen, wenn ihr keine Lust habt:
Erstmal ne relativ einfache, die sogar ich rausbekommen haben:
2^(n+2003)+2^(n+2003)=
A)2^(n+2004)
B)2^(2n+4006)
C)4^(2n+4006)
D)4^(2n+2003)
E)4^(n+2003)
Dann eine schwerere, die ich aba auch grad noch rausbekommen habe(zumindest denke ich das...):
Björn hat 9 Buntstifte, davon ist mindestens einer blau. Nimmt man irgendwelche 4 dieser Buntstifte wahllos aus der Federtasche heraus, sind stets mindestens 2 von gleicher Farbe. Nimmt man irgendwelche 5 dieser Buntstifte wahllos heraus, so sind stets höchstens 3 von gleicher Farbe. Wie viele blaue Stifte hat Björn?
A)6
B)4
C)5
D)3
E)2
Und noch eine, die anfang sehr leicht ausschaut, sich aber als sehr schwierig entpuppt^^
Es seien A>B>1 Primzahlen derart, dass auch A-B und A+B Primzahlen sind. Dann gilt für S=A+B+(A+B)+(A-B)
A)S ist geradzahlig
B)S ist Vielfaches von 3
C)S ist Vielfaches von 5
D)S ist Vielfaches von 7
E)S ist Primzahl
Hf...
Btw: Hat jemand von euch schonmal beim Bundeswettbewerb Mathematik mitgemacht? Ich persönlich werde mich da wohl nächstes Jahr dranhängen, da ich mich dadurch meine Facharbeit sparen kann^^
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@ K_Murx
hm, also du sagst 98...
also 10 hoch 98 + 1 gibt ja 10000.......0001, das ist aber kein vielfaches von 101...
quote:müsste a) geben...
2^(n+2003)+2^(n+2003)=
A)2^(n+2004)
B)2^(2n+4006)
C)4^(2n+4006)
D)4^(2n+2003)
E)4^(n+2003)
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Gut, vollständige Induktion behandelt ihr dann wohl erst nächstes Jahr.
Wenn man nicht weiß wie das gemeint ist kann man mit meinem Auschrieb zugegebenermaßen nicht sonderlich viel anfangen... Sagen wir einfach, es geht, und in nem Jahr verstehst du es auch ;)
1.:
A)
2.:
D)
3.:
Nachem A+B eine Primzahl ist, muß B=2 sein (andernfalls wäre die Summe gerade => keine Primzahl).
A ist in so fern beliebig, als daß es nur einen Abstand von 2 von der nächsten Primzahl haben darf.
Trifft z.B. auf fünf zu.
Damit ist S=17 - also ist schon mal alles außer e) ausgeschlossen.
Frage: Was hab ich übersehen? Das erscheint mir zu einfach...
@Rob Wenn du mir den Quellcode von dem Programm zeigst, mit dem du das nachgerechnet hast, glaub ich dir vielleicht daß ich da einen Denkfehler drin habe. Aber nach bloßem Augenmaß kannst du bei so großen Zahlen nicht mehr gehen. Beispiele: 10^6+1=9901*101.
10^10+1=99009901*101
10^14+1=990099009901*101
(ja, der Wert vor 101 folgt auch einem gewissen Muster. Aber das leite ich jetzt nicht her, vor allem weil ich es nicht beweisen kann bzw. will) ;)
Beiträge: 2.211
jop, hast recht, bin nach augenmaß gegangen, man lebt um zu lernen ;)
quote:ne weitere schwierigkeit finde ich da auch nicht...
Frage: Was hab ich übersehen? Das erscheint mir zu einfach...
also wenn a+b eine primzahl sein soll, und b kleiner als a ist, dann ist ja schon mal klar, dass b=2 ist.
also ist ja auch a+2 und a-2 eine primzahl, und um nun eine weitere lösung zu finden, müsste man eine primzahl x finden, für die gilt: x eine primzahl, x+2 ist eine primzahl und x+4 ist eine primzahl...und das geht nur mit x=3 (sprich a=5)...glaube ich jedenfalls ;)
Beiträge: 808
quote:
Nachem A+B eine Primzahl ist, muß B=2 sein (andernfalls wäre die Summe gerade => keine Primzahl).
A ist in so fern beliebig, als daß es nur einen Abstand von 2 von der nächsten Primzahl haben darf.
Trifft z.B. auf fünf zu.
Damit ist S=17 - also ist schon mal alles außer e) ausgeschlossen.
Frage: Was hab ich übersehen? Das erscheint mir zu einfach...
A=7
B=5
A-B=2
A+B=7
Des hast du denk ich übersehn.
Aber um auf die erste Aufgabe zurückzukommen: Sie muss mit dem Stoff, den man in der 10. Klasse durchgenommen hat, zu lösen sein.
Beiträge: 827
Äh, bei A=5 und B=7 ist nach Adam Riese A+B=12 - und 12 ist nicht wirklich eine Primzahl.
Leider weiß ich nicht mehr was ich zu Beginn der 10. Klasse nicht wußte.
Rechentechnisch ist das ja glaube ich alles schon bekannt, nur da Verfahren der vollständigen Induktion fehlt halt.
Man könnte durch "Rumprobieren" finden, daß unter den ersten zehn Werten n=2, n=6 und n=10 die Bedingung erfüllen.
Dann nimmt man an, daß es immer in Viererschritten aufwärtsgeht.
Bloß dann nachzuweisen daß es immer in diesen Viererschritten aufwärts geht ist ohne das Verfahren vorsichtig gesagt schwierig...
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quote:
Äh, bei A=5 und B=7 ist nach Adam Riese 12
Argh-.- Ich hab 13 rausgebracht
PS: Man darf keinen Tr benutzen.
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